Evropa


POSLEDNÍ ČLÁNKY



V 90. letech se mi do rukou dostal vtip z časopisu American Mathematical Monthly (měsíčník Americká matematika), který vyjadřoval názor amerických univerzitních profesorů na tendence ve vývoji výuky matematiky v USA.


Evoluce výuky matematiky v USA (prostřednictvím testových příkladů)

60.léta

Farmář prodá pytel brambor za 10 dolarů. Jeho náklady jsou 4/5 prodejní ceny. Kolik je jeho zisk?


70. léta

Farmář prodá pytel brambor za 10 dolarů. Jeho náklady jsou 4/5 prodejní ceny, to jest 8 dolarů. Kolik je jeho zisk?


80. léta

Farmář prodá pytel brambor za 10 dolarů. Jeho náklady jsou 8 dolarů a zisk je 2 dolary. Podtrhněte slovo brambor a diskutujte je se spolužáky.


90. léta

Farmář/farmářka prodá pytel brambor za 10 dolarů. Jeho/její produkční náklady jsou rovny 0,8 z jeho/jejího hrubého zisku. Použijte grafické funkce svého kalkulátoru k vytvoření grafu závislosti hrubého zisku na nákladech. Spusťte program BRAMBORA, jenž spočítá zisk. Diskutujte tento výsledek se studenty ze své studijní skupiny.

*   *   *

Kdo ví, jak by odborníci pokračovali ve vývoji příkladu. Já si dovolím vytvořit vlastní verzi pokračování slovní úlohy na základě mých zkušeností. Americké školství je orientováno více na psychologii a emoce než na vědomosti a dovednosti. Aktuální znění příkladu by nejspíš pro jistotu vůbec nepočítalo se studentovou znalostí zlomků nebo desetinných čísel, vzhledem k tomu, že americká koncepce výuky matematiky i nadále pokračuje v programovém odklonu od nácviku základních aritmetických dovedností, ale kladlo by důraz na studentovy pocity, emoce a hlavně na prevenci diskriminace matematiky neznalých studentů. Možná by příklad pokračoval nějak takto:

 

10. léta 21. století

Farmář/farmářka prodá pytel brambor za 10 dolarů. Jeho/její produkční náklady jsou rovny 0,8 z jeho/jejího zisku. Na počítači spusťte program BRAMBORA, jenž spočítá zisk. Analyzujte své pocity z řešení úkolu. Na škále 1-10 (přičemž 1 rovná se velmi lehký příklad a 10 rovná se velmi složitý příklad) zhodnoťte složitost. Případně alternativa – hodnocení složitosti úkolu pomocí třístupňové škály E, OK, H (easy, OK, hard – jednoduché, OK, složité).

• Jak jste se cítil/a při řešení úkolu?
• Byl přístup učitele dostatečně povzbuzující?
• Projevil učitel porozumění pro vaši aktuální náladu?
• Analyzoval s vámi vaše emoce?
• Zvedl vám vaše sebevědomí?
• Zdůraznil vám, že není důležité správně vyřešit problém, ale cítit se dobře?
• Přesvědčil vás, že vaše případná chyba je jen důsledkem vašeho kreativního myšlení a pochválil vás?
• Vyjádřete na papír své emoce, které ve vás proces řešení daného problému vyvolal (frustrace, zlost, strach, zraněné city).

Pokud neumíte vytvořit gramaticky správnou větu, protože ve škole vás nenaučili psát, nakreslete ikonu nebo emotikon vyjadřující vaše pocity.

*   *   *

Americké školství nepodporuje nácvik dovedností a memorizování vědomostí. Kalkulačky a počítače se staly absolutní náhražkou praktických matematických dovedností, jejichž nácviku se ve školách věnuje nedostatečná pozornost. Výuka matematiky je založena na principu zběžného seznamování žáků se základními matematickými koncepty a nemarní se čas únavným nácvikem sčítání, odčítání, násobení a dělení. Žáci se seznamují s praktickými matematickými problémy, přestože jim chybí schopnosti provádět aritmetické úkony potřebné k vyřešení problémů.

V první třídě se neprovádí systematický a pečlivý nácvik sčítání a odčítání celých čísel, ani nácvik rozkladů čísel jako metodicky propracovaná příprava na matematické operace s přechodem přes desítku. Abstraktní matematické myšlení dětí se nerozvíjí pomalu a postupně (prostřednictvím pozvolného přechodu od myšlení konkrétního a matematických operací s manipulativy), a vůbec se netrénuje správné a čitelné psaní číslic.

Hned od 1. třídy se v matematice klade důraz na praktické aplikace matematiky, pochopitelně úměrně věku. Prvňáci se například učí pracovat s mincemi, které jsou vlastně reprezentací desetinných čísel. Učí se sčítat čtvrťáky (0,25 dolarů), desetníky (0,10 dolarů) a pětníky (0,05 dolarů). Není neobvyklé, že malé děti mají problém vypočítat 3+3, ale umně sčítají mince a fundovaně tedy pracují s desetinnými čísly (aniž by věděly, co to jsou desetinná čísla). Matematiku se děti učí spíše instinktivně než prostřednictvím učení se teoriím nebo nácviku operací s čísly. Matematické souvislosti jim však unikají, nerozumí např. vztahu mezi sčítáním a odčítáním, a to, co se naučí, vnímají často jen jako izolovanou dovednost, kterou nejsou schopny aplikovat v jiné matematické situaci. Vědí kolik dolarů je pět čtvrťáků, tedy logicky si v hlavě vyvodí 5 krát 0,25, ale v žádné jiné situaci by desetinná čísla sčítat nebo odčítat neuměly.

Tradiční (staromódní) výuka matematiky prostřednictvím metodicky propracovaného nácviku matematických dovedností byla nahrazena moderní koncepcí, ležérní každodenní běžnou matematikou, která neklade důraz na nácvik početních operací, ale na seznamování žáků s matematikou v praxi. Tvůrci nové koncepce zastávají názor, že žák se má ve škole hravě seznamovat s tím, jak matematika funguje, a není nutné, aby intenzivně trénoval matematické operace, k jejichž provádění v běžném životě slouží počítače a kalkulačky.

Státní školy nekriticky přijaly novou koncepci výuky matematiky, podle které seznamují žáky s nejrůznějšími matematickými koncepty v nahodilém, jakoby chaotickém pořadí a často v nelogické posloupnosti. Čas věnovaný výuce matematiky se nemarní nácvikem “archaických” dovedností, memorováním násobilky nebo drilem odčítání několikaciferných čísel, ale marní se předkládáním matematického učiva dětem, které látce vůbec nerozumí, protože jim chybí pochopení základních principů matematických operací i schopnost provádět je; protože sčítat a odčítat umí jen s pomocí prstů; protože neznají násobilku; protože nevědí, že dělení souvisí s násobením, nebo že sčítání souvisí s odčítáním.

Když se ignorují základní stavební kameny matematiky, matematické úlohy, byť hravé, veselé a ze života, dítě nezaujmou, protože i kdyby je pochopilo, jestliže nedisponuje dovedností počítat, nevyřeší je.

Podcenění výuky násobilky

V prvních letech školní docházky se děti seznamují s nejrůznějšími matematickými tématy a trochu se učí počítat. Problém je s násobilkou, která je kontroverzní záležitost. Většinou se jí moc pozornosti ve škole nevěnuje. Moderní vzdělávací koncepce intenzivní nácvik násobení a  memorování násobilky nepodporují, případně je přímo zakazují a školní inspektoři při návštěvě škol sledují, zda ve třídách náhodou nevisí tabule s násobilkou. Kantoři, kteří jsou si vědomi důležitosti nácviku základních aritmetických operací, především násobení, otevřeně radí rodičům žáků, aby s dětmi doma prováděli matematický dril, případně rodičům doporučují, aby děti přihlásili na odborné doučování matematiky do doučovacích center.

Podcenění výuky násobilky vnímám jako jeden z největších omylů nové koncepce. Absence dovednosti efektivně násobit žákům působí obrovské problémy. Jakmile se žáci začnou seznamovat se zlomky, jsou ztraceni, protože obtížně hledají společného dělitele nebo nejmenší společný násobek. Tolik zatracovaná násobilka by se jim určitě hodila. Ve své praxi se pravidelně setkávám s budoucími maturanty, kteří násobí prostřednictvím opakovaného sčítání. Důvod je prostý. Neznají násobilku, protože ta se ve škole nedrilovala. Násobením prostřednictvím opakovaného sčítání sice člověk také dojde ke správnému výsledku, a je chvályhodné, že  maturant chápe koncept násobení jako opakovaného sčítání, nicméně násobení prostřednictvím sčítání je časově náročné a neefektivní. Tabulka násobilky byla vytvořena tak, aby sloužila člověku. Třeba právě proto, aby nemusel používat prsty nebo papír, potřebuje-li vynásobit třikrát pět. Jenže odborníci, kteří řídí školství, považují jakýkoliv dril za nepřípustný.

Učebnice matematiky mladší žáci často vůbec nemají

Školy prezentují matematické koncepty v chaotickém a náhodném pořadí, bez řádného procvičení té či oné látky. Jeden den se děti seznámí se zlomky a druhý den se učí něco úplně jiného, třeba obsah rovnoběžníku s tím, že délky stran jsou udány v desetinných číslech, která se však ještě neprobírala. Vše se učí jakoby vytrženo z kontextu a navíc bez učebnic. Američtí žáci na nižších stupních škol zpravidla nemají žádné učebnice (ani sešity). Domácí úkoly si ze školy nosí na papírech, chybí kontinuita a zpětná vazba. I kdyby se chtěli doma látku doučit nebo si procvičit či zopakovat minulé učivo a minulá témata, nemají se o co opřít a nemohou jim pomoci ani jejich rodiče, neboť ani oni nevědí, co se jejich dítě ve škole učí a co by mělo procvičovat.

Mnozí rodiče jsou frustrovaní a uvědomují si, že státní školy ve vzdělávání selhávají. Přicházejí na to, že ve státní škole se jejich dětem solidního matematického vzdělání nejspíš nedostane, takže hledají jiné možnosti vzdělání. Soukromé školy často nabízejí nadstandardní vzdělání (třeba výuku násobilky, gramatiky, krasopisu či latiny), ale málokdo si je může finančně dovolit. Státní školy nemají možnost flexibility, učí podle koncepcí, které adaptovaly, a nenabízejí alternativy. Školní látku pokrývají, ale neodkrývají.

 

 

 

Soukromá doučovací centra učí to, co se zanedbává ve školách

Doučovací centra jsou jednou z možností, jak dítěti pomoci s matematikou.  Poptávka po doučování matematiky je obrovská a je pravděpodobně indikátorem nefunkčnosti koncepce vyučování matematiky na státních školách, koncepce praktické každodenní matematiky. Na odborné doučování  přicházejí žáci, kterým chybí elementární matematické dovednosti, kteří počítají na prstech, neznají násobilku a nerozumí základním matematickým konceptům. Doučovací centra učí to, co školy ignorují nebo zanedbávají, tedy především nácvik matematických operací. Učí tradičním způsobem (a často podle zastaralých učebnic, ve kterých je studijní látka předkládána v logickém sledu a smysluplně, byť občas nezáživně a nudně). Kalkulačky mohou používat až středoškoláci, a to jen v případě, že prokazatelně zvládli základní aritmetické operace bez kalkulaček.

Na odborné doučování docházejí také děti, kterým rodiče chtějí dopřát kvalitní vzdělání na soukromé škole, protože nejsou spokojeni s úrovní státního vzdělání. V doučovacím centru dítě podstoupí placenou přípravu k přijímacím zkouškám na soukromou školu. Aby byl žák přijat na soukromou základní  nebo střední školu, musí  úspěšně složit přijímací zkoušky, jejichž součástí je nezávislý standardizovaný státní test. Soukromé školy jsou selektivní a vybírají si jen nejlepší žáky. Přijímací zkoušky jsou náročné a matematická část testu zkoumá nejen logické matematické myšlení, ale také schopnosti žáka provádět matematické operace bez použití kalkulačky. Žáci, kteří se chystají k přijímacím zkouškám, často stráví několik desítek nebo stovek hodin v doučovacím centru, kde se jim dostává matematického vzdělání, které jim státní škola neposkytla. Učí se sčítat, odčítat, násobit, dělit, pracovat s desetinnými čísly, zlomky, procenty, atd. Učební materiál je prezentován v logickém sledu a nácvik je intenzivní. Většina absolventů doučovacích center u přijímacích zkoušek uspěje.

Odklon od výuky matematických dovedností

Stejně jako ve výuce čtení a psaní došlo k odklonu od fonetických zákonitostí a nácviku gramatických pravidel, protože existují počítačové programy, které opraví chyby, v matematice došlo k odklonu od výuky aritmetických dovedností, které fundovaně nahradí obyčejná kalkulačka.

Státní vzdělávací systém produkuje jedince, kteří spoléhají na technologii a jejichž matematické myšlení a dovednosti jsou velmi omezené, jedince, kteří neumějí dobře počítat, nerozumí matematickým souvislostem a nemají matematiku rádi, protože jí nerozumí.

Výuka matematiky podle nové koncepce je málo funkční a nepřipravuje žáky pro další studium ani pro život.

Slovní úlohy se učí prostřednictvím analýzy klíčových slov, a když se v reálném životě vynoří matematický problém, ve kterém chybí jedno z deseti naučených klíčových slov, problém je neřešitelný. Pokladní v obchodě vydá zákazníkovi peníze podle toho, co jí poradí počítač. Bez jeho pomoci však není schopna vytvořit kalkulaci, protože odčítání se ve škole nenaučila, nebo se s ním jen zběžně seznámila a už ho dávno zapomněla.

Člověk, kterému vzdělávací systém poskytl matematické vzdělání, byť prostřednictvím občasného nezáživného drilu, a který se zároveň ve škole seznámil s aplikacemi matematických konceptů v praktických příkladech, se naučí matematicky myslet a má výhodu v řešení matematických problémů každodenního života. Stává se matematicky kompetentním.

Americká koncepce každodenní matematiky vsadila na praktický aspekt matematiky v kombinaci s filosofií, že není důležité, co člověk umí, ale jak se cítí. Výsledkem je systém, který produkuje jedince, kteří neumějí sčítat, odčítat, násobit a řešit slovní úlohy, ale mají zdravé sebevědomí.

*   *   *

Domnívám se, že největší užitek přinesla nová koncepce výuky matematiky doučovacím centrům a soukromým školám.